پاسخ ورودی صفر

در این فیلم آموزشی پاسخ ورودی صفر مدار RC را مورد بررسی قرار داده و مفهوم ثابت زمانی را معرفی می نماییم.

[۱] Hayt, William, Jack Kemmerly, and Steven Durbin. Engineering circuit analysis. McGraw-Hill, 2011.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۴۷۷۴)

پاسخ ورودی صفر

نوشته ها

برگه ها

دسته ها

برچسب ها

*نام و نام خانوادگی*آدرس ایمیل
*عنوان ویدئو

دانشگاهیدبیرستانیآموزش نرم افزارسایر
رشته

درس

*مسیر آپلود ویدئو
تصویر شاخص
جزوه ویدئو
توضیح ویدئو

اگر فرم ورود برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.

 خطا! ورودی را کنترل کنید

  خطا! ورودی را کنترل کنید

ورود خودکار ؟

اگر فرم ثبت نام برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ ورودی صفر

اگر فرم بازیابی کلمه عبور برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

انـجـمـن های تـخــصـصی ECA

برترین مرجع تخصصی برق و الکترونیک در ایران

نمایش برچسب‌ها

مشاهده قوانین انجمن

انجمن های تخصصی برق و الکترونیک ECA از سال 1382 فعالیت علمی خود را آغاز نموده و با هدف ایجاد پایگاه بزرگ اطلاعاتی، همواره در مسیر پیشرفت کشور عزیزمان قدم برداشته است.

نیرو گرفته از پوسته فلت‌لی

.کاربر‌گرامی، مرورگری که شما از آن استفاده می‌کنید اصلاً مناسب نیست.
بهتر است برای وبگردی راحت تر از آخرین نگارش مرورگر های گوگل‌کروم یا موزیلا فایرفاکس استفاده کنید.

اگر فرم ورود برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.

 خطا! ورودی را کنترل کنید

  خطا! ورودی را کنترل کنید

ورود خودکار ؟

اگر فرم ثبت نام برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ ورودی صفر

اگر فرم بازیابی کلمه عبور برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

انـجـمـن های تـخــصـصی ECA

برترین مرجع تخصصی برق و الکترونیک در ایران

نمایش برچسب‌ها

مشاهده قوانین انجمن

انجمن های تخصصی برق و الکترونیک ECA از سال 1382 فعالیت علمی خود را آغاز نموده و با هدف ایجاد پایگاه بزرگ اطلاعاتی، همواره در مسیر پیشرفت کشور عزیزمان قدم برداشته است.

نیرو گرفته از پوسته فلت‌لی

.کاربر‌گرامی، مرورگری که شما از آن استفاده می‌کنید اصلاً مناسب نیست.
بهتر است برای وبگردی راحت تر از آخرین نگارش مرورگر های گوگل‌کروم یا موزیلا فایرفاکس استفاده کنید.

اگر فرم ورود برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.

 خطا! ورودی را کنترل کنید

  خطا! ورودی را کنترل کنید

ورود خودکار ؟

اگر فرم ثبت نام برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

پاسخ ورودی صفر

اگر فرم بازیابی کلمه عبور برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

انـجـمـن های تـخــصـصی ECA

برترین مرجع تخصصی برق و الکترونیک در ایران

نمایش برچسب‌ها

مشاهده قوانین انجمن

انجمن های تخصصی برق و الکترونیک ECA از سال 1382 فعالیت علمی خود را آغاز نموده و با هدف ایجاد پایگاه بزرگ اطلاعاتی، همواره در مسیر پیشرفت کشور عزیزمان قدم برداشته است.

نیرو گرفته از پوسته فلت‌لی

.کاربر‌گرامی، مرورگری که شما از آن استفاده می‌کنید اصلاً مناسب نیست.
بهتر است برای وبگردی راحت تر از آخرین نگارش مرورگر های گوگل‌کروم یا موزیلا فایرفاکس استفاده کنید.

aaa-apm

aaa-apm

aaa-apm

aaa-apm

پاسخ ورودی صفر

برای یافتن پاسخ کل مدار سری RC ، باید پاسخ ورودی صفر و پاسخ حالت صفر را پیدا کنید و سپس آنها را با هم جمع کنید. یک مدار سری RC درجه یک دارای یک مقاومت (یا شبکه مقاومت) و یک خازن است که به صورت سری متصل است.

در اینجا مدار سری RC وجود دارد که به دو مدار تقسیم شده است. نمودار سمت راست بالا پاسخ ورودی صفر را نشان می دهد ، که با تنظیم ورودی روی 0 دریافت می کنید. نمودار پایین سمت راست پاسخ حالت صفر را نشان می دهد ، که با تنظیم شرایط اولیه روی 0 دریافت می کنید.

ابتدا می خواهید پاسخ ورودی صفر را برای مدار سری RC پیدا کنید. نمودار بالا سمت راست در اینجا سیگنال ورودی را نشان می دهد vتی(تی) برابر است با 0. ولتاژ ورودی صفر یعنی صفر دارید. . . نادا . . زیپ . . ورودی برای همه زمان ها. پاسخ خروجی به دلیل شرایط اولیه است V0 (ولتاژ خازن اولیه) در زمان تی = 0. معادله دیفرانسیل مرتبه اول به کاهش می یابد

اینجا، vZI(تی) ولتاژ خازن است. برای یک منبع ورودی که بر اساس 0 ولت تنظیم شده است ، در اینجا ولتاژ خازن را a می نامند پاسخ ورودی صفر یا پاسخ رایگان. به جز حالت اولیه ولتاژ خازن ، هیچ نیروی خارجی (مانند باتری) بر روی مدار تأثیر نمی گذارد.

به طور منطقی می توانید حدس بزنید که راه حل تابع نمایی است (بعد از آن می توانید راه حل را بررسی و تأیید کنید). شما نمایی را امتحان می کنید زیرا مشتق زمانی نمایی نیز نمایی است. این حدس را در معادله مدار مرتبه اول RC جایگزین کنید:

vZI(t) = ائkt

آ و ک ثابت های دلخواه پاسخ ورودی صفر هستند. حالا محلول را جایگزین کنید vZI(t) = ائkt به معادله دیفرانسیل:

شما بعد از تنظیم معادله برابر با 0 و فاکتور بندی کردن ، یک معادله مشخصه جبری بدست می آورید ائkt:

ائkt(1 + RCk) = 0

معادله مشخصه مسئله بسیار ساده تری را برای شما ایجاد می کند. ضریب هkt باید 0 باشد ، بنابراین شما فقط برای ثابت حل می کنید k:

وقتی داری ک، شما پاسخ ورودی صفر دارید vZI(تی) استفاده كردن k = –1 / RC، می توانید راه حل معادله دیفرانسیل ورودی صفر را پیدا کنید:

اکنون می توانید ثابت را پیدا کنید آ با استفاده از شرط اولیه در زمان تی = 0 ، ولتاژ اولیه است V0، که به شما می دهد

ثابت آ ولتاژ اولیه است V0 از طریق خازن.

سرانجام ، شما یک راه حل برای ولتاژ خازن دارید ، که پاسخ ورودی صفر است vZI(تی):

اصطلاح ثابت RC در این معادله ثابت زمانی. ثابت زمان اندازه گیری مدت زمان تخلیه یا شارژ خازن را فراهم می کند. در این مثال ، خازن با ولتاژ اولیه شروع می شود V0 و آرام آرام فراموشی می رود و به حالت دیگری از 0 ولت می رسد.

فرض کنید RC = 1 ثانیه و ولتاژ اولیه V0 = 5 ولت این مدار نمونه نمایی پوسیدگی را رسم می کند ، نشان می دهد که تقریباً 5 ثابت زمان یا 5 ثانیه طول می کشد تا ولتاژ خازن به 0 برسد.

پاسخ حالت صفر به معنای صفر بودن شرایط اولیه است ، و نیاز به یافتن ولتاژ خازن در صورت وجود منبع ورودی دارد ، vتی(تی). برای دریافت پاسخ حالت صفر باید راه حلهای همگن و خاص را پیدا کنید. برای یافتن شرایط اولیه صفر ، هنگامی که ولتاژی در خازن وجود ندارد ، مدار را مشاهده می کنید تی = 0.

مداری که در پایین سمت راست این مدار نمونه قرار دارد شرایط اولیه صفر و ولتاژ ورودی Vتی(تی) = تو (تی)، جایی که تو (تی) یک ورودی واحد گام است.

از نظر ریاضی ، می توانید تابع مرحله را توصیف کنید تو (تی) مانند

سیگنال ورودی به دو بازه زمانی تقسیم می شود. چه زمانی تی تو (تی) = 0. معادله دیفرانسیل مرتبه اول می شود

شما قبلاً راه حل را پیدا کرده اید تی = 0 ، زیرا vساعت(تی) راه حل معادله همگن است:

شما ثابت دلخواه را تعیین می کنید ج1 پس از یافتن راه حل خاص و اعمال شرط اولیه V0 0 ولت.

حال راه حل خاص را پیدا کنید vp (t) چه زمانی تو (تی) = 1 بعد تی = 0.

پاسخ ورودی صفر

بعد از گذشت زمان تی = 0 ، ورودی گام واحد رفتار ولتاژ گذرا را در خازن توصیف می کند. ولتاژ خازن که به ورودی گام واکنش می دهد ، گفته می شود پاسخ گام.

برای ورودی گام vتی(تی) = تو (تی)، شما یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول دارید:

شما قبلاً می دانید که ارزش مرحله است تو (تی) برابر با 1 بعد است تی = 0. جانشین تو (تی) = 1 به معادله قبلی:

برای ولتاژ خازن حل کنید vپ(تی)، که راه حل خاص است. راه حل خاص همیشه به سیگنال ورودی واقعی بستگی دارد.

زیرا ورودی ثابت بعد از است تی = 0 ، راه حل خاص vپ(تی) فرض می شود یک ثابت است Vآ همچنین.

مشتق یک ثابت 0 است ، که به معنی زیر است:

حالا جایگزین کنید vپ(تی) = Vآ و مشتق آن در معادله دیفرانسیل مرتبه اول:

پس از مدت زمان نسبتاً طولانی ، محلول خاص ورودی واحد گام را با قدرت دنبال می کند Vآ = 1. به طور کلی ، یک گام ورودی با قدرت است Vآ یا Vآتو (تی) منجر به ولتاژ خازن می شود Vآ.

پس از یافتن راه حل های همگن و خاص ، شما دو راه حل را جمع می کنید تا پاسخ حالت صفر را بدست آورید vZS(تی). شما پیدا کنید ج1 با اعمال شرط اولیه برابر با 0 است.

با افزودن محلول همگن و محلول خاص ، شما دارید vZS(تی):

vZS(t) = vساعت(تی) + vپ(تی)

جایگزینی در راه حل های همگن و خاص به شما می دهد

در تی = 0 ، شرط اولیه است vج(0) = 0 برای پاسخ حالت صفر. شما اکنون محاسبه کنید vZS(0) مانند

بعد ، برای حل کنید ج1:

ج1= -Vآ

جایگزین ج1 در معادله حالت صفر برای تولید حل کامل پاسخ حالت صفر vZS(تی):

aaa-apm

aaa-apm

aaa-apm | ar | az | be | bg | bn | ca | cs | da | de | es | et | ga | fi | fr | hi | hu | hy | id | is | it | ja | ka | ko | kk | lb | lo | lt | lv | ms | mr | nl | no | pl | pt | ro | ru | sk | sl | sq | sr | sv | ta | te | tg | th | tl | tr | uk | ur | uz | vi | zh

Sitemap

پاسخ حالت‌صفر به پاسخی از یک سامانه گفته می‌شود که تنها بر اثر ورودی سامانه ایجاد شده و حالت (شرایط) اولیهٔ سامانه در آن بی‌تأثیر بوده است.[۱] در یک مدار الکتریکی پاسخ حالت صفر، به پاسخی از مدار به یک ورودی گفته می‌شود که در لحظهٔ اعمال ورودی، شرایط اولیهٔ مدار صفر بوده است. مجموع پاسخ حالت صفر و پاسخ ورودی‌صفر، پاسخ کامل مدار را تشکیل می‌دهد.[۲]

%PDF-1.4
%
6 0 obj
>
stream
x^隫8D̒Y2@06% eYt.888888㜔{tTͼ᧟oGJ:_Ân_wFw
sj鶆{esaT9OFxhJg|}b jJ#L-p.7s’Nan=D#i7C’rekFN~ԖwsmF

همان‌طور که در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس گفتیم، مدارهای مرتبه اول مدارهایی هستند که از ترکیب دوتایی عناصر پسیو ساخته می‌شوند. این مدارها، مدار شامل مقاومت و خازن (مدار RC) و مدار متشکل از مقاومت و سلف (مدار RL) هستند. قبلاً، درباره مدارهای RC به‌تفصیل بحث کردیم. در این آموزش، مدار مرتبه اول RL را بررسی خواهیم کرد و پاسخ آن را در حالت بدون ورودی و با ورودی پله به‌دست خواهیم آورد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

یک مدار RL را بدون منبع می‌گوییم اگر منبع dc آن به‌طور ناگهانی قطع شود. با قطع منبع، انرژی ذخیره‌شده قبلی در مدار تخلیه می‌شود.

ترکیب سری یک مقاومت و یک سلف را در نظر بگیرید که سلف از قبل دارای انرژی شده است (شکل 1). هدف، تعیین پاسخ مدار است که به دلایل آموزشی، فرض می‌کنیم جریان $$i(t)$$‌ سلف باشد.

می‌توان فرض کرد در زمان $$t=0$$ سلف دارای جریان اولیه زیر است:

پاسخ ورودی صفر

که انرژی متناظر با این جریان، برابر است با:

با اعمال KVL در حلقه مدار شکل ۱، داریم:

که در آن، $$v_L=Ldi/dt$$ و $$v_R=iR$$ هستند. بنابراین:

یا

با کمی تغییرات جبری و انتگرال‌گیری، داریم:

یا

اگر دو طرف رابطه بالا را به توان $$e$$ برسانیم، خواهیم داشت:

عبارت بالا نشان می‌دهد پاسخ جریان مدار RL، یک تابع نزولی نمایی از جریان اولیه است. از آن‌جایی که پاسخ به انرژی ذخیره‌شده و مشخصات فیزیکی مدار وابسته است و به منابع ولتاژ یا جریان خارجی بستگی ندارد، آن را پاسخ طبیعی (Natural Response) مدار می‌نامند. به عبارت دیگر، پاسخ طبیعی یک مدار، رفتار (ولتاژ و جریان) آن مدار بدون هیچ منبع تحریک خارجی است.

پاسخ طبیعی مدار در شکل ۲ نشان داده شده است. توجه کنید که در $$t=0$$، همان شرایط اولیه رابطه (۱) را داریم. با افزایش $$t$$، جریان به صفر کاهش پیدا می‌کند. سرعت کاهش جریان را با ثابت زمانی (Time Constant) یا $$tau$$ نشان می‌دهند. به عبارت بهتر، ثابت زمانی یک مدار، زمان مورد نیاز برای آن است که پاسخ به $$1/e$$ یا 36.8 درصد مقدار اولیه‌اش کاهش پیدا کند.

ثابت زمانی مدار RL به‌صورت زیر است:

اکنون می‌توانیم رابطه (۶) را برحسب ثابت زمانی بنویسیم:

با استفاده از رابطه جریان اخیر، می‌توان ولتاژ مقاومت را به‌دست آورد:

توان اتلافی مقاومت نیز به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

بنابراین، انرژی جذب‌شده مقاومت برابر است با:

یا

اگر $$t to infty$$، آن‌گاه $$w_R(infty) to frac{1}{2} LI_0^2$$ را داریم که برابر با همان مقدار انرژی ذخیره‌شده اولیه در سلف ($$w_L(0)$$) است.

به‌عنوان نتیجه‌گیری، می‌توان گفت دو پارامتر مهم برای مدار مرتبه اول RL بدون منبع وجود دارد که جریان اولیه سلف و ثابت زمانی هستند. با استفاده از این دو مورد می‌توان پاسخ مدار را در قالب جریان سلف $$i_L(t)=i(t)=i(0)e^{-t/tau}$$ به‌دست آورد. پس از آنکه جریان سلف به‌دست آمد، سایر متغیرها (ولتاژ‌ سلف $$v_L$$، ولتاژ مقاومت $$v_R$$ و جریان مقاومت $$i_R$$) را می‌توان تعیین کرد.

در ثابت زمانی $$tau = R/L$$، معمولاً $$R$$‌ مقاومت معادل تونن از دو سر سلف است. سلف نیز، سلف معادل مدار است.

قبل از اینکه وارد بحث درباره نوع دیگر مدارهای مرتبه اول RL شویم، لازم است چند مفهوم ریاضی را بیان کنیم که موجب تسهیل درک تحلیل گذرا می‌شوند. آشنایی اولیه با توابع تکین (Singularity Functions) ما را در تحلیل پاسخ مدارهای مرتبه اول به اعمال ناگهانی منابع ولتاژ یا جریان dc کمک خواهد کرد.

توابع تکین که توابع سوئیچینگ یا کلیدزنی نیز نامیده می‌شوند، در تحلیل مدار بسیار مفید خواهند بود. این توابع، تقریب‌های مناسبی برای سیگنال‌های سوئیچینگ هستند که به مدار اعمال می‌شوند. توابع تکین، برای توصیف مناسب و فشرده برخی پدیده‌های مدار، خصوصاً پاسخ مدارهای RC و RL مفید هستند. بنا بر تعریف، توابع تکین، توابعی ناپیوسته هستند یا مشتق‌های ناپیوسته دارند. توابع تکین پرکاربرد که در تحلیل مدارهای الکتریکی مورد استفاده قرار می‌گیرند، پله واحد، ضربه واحد و شیب واحد هستند.

تابع پله واحد $$u(t)$$ برای مقادیر منفی $$t$$، صفر و برای مقادیر مثبت $$t$$ برابر با ۱ است.

به بیان ریاضی:

تابع پله واحد در $$t=0$$ که تغییر ناگهانی از 0 به 1 رخ می‌دهد، تعریف نشده است. این تابع، مانند سایر توابع ریاضیاتی مثل سینوس و کسینوس بدون بُعد است. شکل ۳، تابع پله واحد را نشان می‌دهد. اگر تغییر ناگهانی به جای $$t=0$$ در $$t=t_0$$‌ ($$t>t_0$$) رخ دهد، تابع پله به‌شکل زیر خواهد بود:

در این حالت می‌گوییم، $$u(t)$$ به‌اندازه $$t_0$$ ثانیه تاخیر یافته است (شکل 4 (الف)).‌ برای به‌دست آوردن رابطه (13) از رابطه (12)، می‌توان به‌سادگی $$t$$ را با $$t-t_0$$ جایگزین کرد. اگر تغییر ناگهانی در $$t=-t_0$$ اتفاق افتد، تابع پله را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

بدین ترتیب، مطابق شکل ۴ (ب)، $$u(t)$$‌ به‌اندازه $$t_0$$‌ ثانیه جلو می‌افتد.

از تابع پله برای نشان دادن تغییر ناگهانی در ولتاژ یا جریان استفاده می‌کنیم. این کار مخصوصاً در سیستم‌های کنترل و کامپیوترهای دیجیتال کاربرد دارد. برای مثال، ولتاژِ

را می‌توان با تابع پله واحد زیر نشان داد:

اگر $$t_0=0$$ را در نظر بگیریم، آن‌گاه $$v(t)$$‌ را می‌توان به‌صورت تابع پله $$V_0 u(t)$$‌ نوشت. منبع ولتاژ $$V_0u(t)$$ در شکل ۵ (الف) و مدار معادل آن، در شکل ۵ (ب) نشان داده شده است. از شکل ۵ (ب) مشخص است که ترمینال‌های a-b در $$t0$$، ولتاژ برابر $$v=V_0$$ است. به طریق مشابه، منبع جریان $$I_0 u(t)$$ و مدار معادل آن، در شکل ۶ (الف) و ۶ (ب) نشان داده شده‌اند. همان‌طور که می‌بینیم، برای $$t0$$ جریان آن برابر با $$i=I_0$$ خواهد بود.

مشتق تابع پله واحد $$u(t)$$، تابع ضربه واحد $$delta (t)$$ است که به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

تابع ضربه واحد را، تابع دلتا نیز می‌نامند. شکل 7 این تابع را نشان می‌دهد. تابع ضربه واحد $$delta (t)$$، جز در $$t=0$$ تعریف نشده است.

جریان‌ها و ولتاژهای ضربه‌ای مدار، بر اثر کلیدزنی یا منابع ضربه‌ای ایجاد می‌شوند. اگرچه تابع ضربه واحد از نظر فیزیکی قابل پیاده‌سازی نیست (مانند منابع ایده‌آل، مقاومت‌های ایده‌آل و غیره)، اما ابزار ریاضی بسیار مفیدی است. تابع ضربه را می‌توان به‌عنوان یک شوک در نظر گرفت یا به‌عنوان یک پالس بسیار کوتاه با مساحت واحد تصور کرد. به زبان ریاضی، می‌توان نوشت:

که در آن، $$t=0^-$$، زمان را اندکی قبل از $$t=0$$‌ و $$t=0^+$$ زمان را اندکی بعد از $$t=0$$‌ نشان می‌دهد. مساحت واحد را به‌عنوان شدت تابع ضربه می‌شناسند. وقتی یک ضربه، شدت بیشتری نسبت به واحد داشته باشد، مساحت آن، برابر با آن شدت است. برای مثال، مساحت تابع ضربه $$10 delta (t)$$، برابر با 10 است. شکل ۸، توابع ضربه $$5delta (t+2)$$، $$10 delta (t)$$ و $$-4delta (t-3)$$ را نشان می‌دهد.

پاسخ ورودی صفر

برای آنکه تاثیر تابع ضربه را بر سایر توابع پیدا کنیم، انتگرال زیر را محاسبه می‌کنیم:

که در آن، $$a<t_0<b$$. از آن‌جایی که مقدار $$delta (t-t_0)$$ جز در $$t=t_0$$ برابر با صفر است، انتگرال‌ده جز در $$t_0$$‌ برابر با صفر است. بنابراین:

یا

رابطه بالا نشان می‌دهد وقتی از حاصل‌ضرب یک تابع و تابع ضربه، انتگرال بگیریم، مقدار تابع در نقطه‌ای به‌دست می‌آید که ضربه اعمال شده است. این ویژگی تابع ضربه که بسیار هم مفید است، خاصیت نمونه‌برداری (Sampling)‌ یا جابه‌جایی (Shifting) نامیده می‌شود. در حالت خاص، معادله (19) را می‌توان برای $$t_0=0$$‌ به‌صورت زیر نوشت:

انتگرال‌گیری از تابع پله واحد $$u(t)$$، تابع شیب واحد $$r(t)$$‌ را نتیجه خواهد داد:

یا

تابع شیب واحد، برای مقادیر $$t$$ منفی، برابر با صفر است و برای $$t$$های مثبت، یک شیب واحد است. شکل 9، تابع شیب واحد را نشان می‌دهد. در حالت کلی، یک شیب، تابعی است که با نرخ ثابتی تغییر می‌کند.

تابع شیب واحد، را می‌توان مطابق شکل ۱۰، عقب یا جلو برد. برای یک تابع شیب واحد تأخیریافته، داریم:

و یک تابع شیب پیش‌افتاده به‌صورت زیر است:

به‌خاطر داشته باشید که سه تابع تکین (ضربه، پله و شیب) را می‌توان با مشتق یا انتگرال به یکدیگر مربوط کرد:

هرچند توابع تکین دیگری نیز وجود دارد، اما ما با این سه تابع سروکار داریم.

وقتی یک منبع dc به‌طور ناگهانی به مدار RL اعمال شود، منبع ولتاژ یا جریان را می‌توان با یک تابع پله مدل کرد که پاسخ آن، به‌عنوان پاسخ پله شناخته می‌شود.

مدار RL شکل 1۱ (الف) را در نظر بگیرید که می‌توان آن را با مدار شکل 1۱ (ب) جایگزین کرد. در این شکل، $$V_s$$ یک منبع ولتاژ dc ثابت است. در این‌جا نیز جریان سلف را به‌عنوان پاسخ مدار در نظر می‌گیریم.

پاسخ را می‌توان به‌عنوان مجموع پاسخ گذرا و حالت ماندگار نوشت:

همان‌گونه که می‌دانیم، پاسخ گذرا همیشه یک نمایی کاهشی است:

که در آن، $$A$$ یک ثابت است و باید آن را تعیین کرد.

پاسخ حالت ماندگار، مقداری از جریانی است که پس از یک مدت طولانی بعد از بسته شدن کلید در مدار برقرار است. پاسخ گذرا اساساً پس از ۵ ثابت زمانی از بین می‌رود. در آن زمان، سلف اتصال‌کوتاه می‌شود و ولتاژ دو سر آن صفر خواهد بود. در نتیجه، کل ولتاژ منبع $$ V_s $$ در دو سر مقاومت $$ R$$ ظاهر می‌شود. بنابراین، پاسخ حالت ماندگار برابر است با:

در نتیجه، با جمع روابط (29) و (30)، جریان سلف را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

اکنون باید ثابت $$A$$ را از مقدار اولیه $$i$$ تعیین کنیم. فرض می‌کنیم، مقدار اولیه جریان سلف $$I_0$$ است. از آن‌جایی که جریان سلف به‌طور ناگهانی تغییر نمی‌کند، داریم:

بنابراین، در $$ t = 0 $$ رابطه (۳۱) به‌صورت زیر درمی‌آید:

از رابطه بالا، مقدار $$ A$$ را به‌دست می‌آوریم:

با جایگذاری $$ A $$ در معادله (۳۱) داریم:

پاسخ بالا، پاسخ کامل مدار RL است که نمودار آن در شکل ۱۲ نشان داده شده است.

پاسخ معادله (۳۳) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

که در آن، $$i(0)$$، جریان اولیه در $$t=0^+$$ و $$i(infty)$$، مقدار نهایی یا حالت ماندگار است. بنابراین، برای یافتن پاسخ پله یک مدار RL، به سه پارامتر نیاز داریم:

مورد ۱ را می‌توان در زمان $$t0$$ به‌دست می‌آیند. با محاسبه این موارد، می‌توان پاسخ را از رابطه (۳۴) به‌دست آورد.

توجه کنید اگر کلید به‌جای $$t=0$$ در لحظه $$t=t_0$$ سوئیچ شود، یک تاخیر زمانی در رابطه (34) ایجاد خواهد شد:

که در آن، $$i(t_0)$$، مقدار اولیه در $$t=t_0^+$$ است. روابط (34) و (35) فقط درمورد پاسخ پله کاربرد دارند، یعنی وقتی تحریکِ ورودی، ثابت است.

اگر فرض کنیم سلف در حالت اولیه انرژی نداشته باشد، مقدار $$I_0=0$$ را در معادله (34) قرار می‌دهیم و خواهیم داشت:

یا

معادله بالا، پاسخ مدار در حالتی است که سلف از قبل انرژی نداشته باشد. ولتاژ سلف را می‌توان از رابطه (36) و با استفاده از $$v(t)=Ldi/dt$$ نوشت:

یا

شکل ۱۳، نمودار جریان و ولتاژ سلف را نشان می‌دهد.

جدای از عملیاتی که برای به‌دست آوردن جریان یک سلف انجام شد، یک روش نظام‌مند یا به تعبیر بهتر، میان‌بُر برای یافتن پاسخ پله یک مدار RL وجود دارد. مشخص است که $$i(t)$$ دو بخش دارد. دو راه برای تفکیک این دو بخش وجود دارد. راه اول، جدا کردن پاسخ به دو بخش «پاسخ طبیعی و پاسخ اجباری» و راه دوم، جدا کردن به دو بخش «پاسخ گذرا و پاسخ حالت ماندگار» است.

پاسخ کامل یک مدار را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

راه دیگر بیان پاسخ کامل، جدا کردن آن به دو بخش موقت و دائمی است:

پاسخ گذرا، موقتی است و بخشی از پاسخ است که با میل کردن زمان به بی‌نهایت، مقدار آن به صفر می‌رسد. پاسخ حالت ماندگار نیز، آن بخش از پاسخ است که پس از از بین رفتن پاسخ گذرا باقی می‌ماند.

روش تفکیک نخست برای پاسخ کامل، بر اساس منبع پاسخ است، درحالی که روش دوم، مبتنی بر دوام پاسخ‌ها است. در شرایط معین، پاسخ طبیعی و گذرا مشابه هستند. در نتیجه می‌توان گفتن که پاسخ اجباری و حالت ماندگار نیز برابر خواهند بود.

در صورتی که مباحث بیان شده برای شما مفید بوده و می‌خواهید درباره موضوعات مرتبط، مطالب بیشتری یاد بگیرید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

^^

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 26 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

دمتون گرم اجرتون با خدا

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، اجزای پسیو (مقاومت، سلف و خازن) و برخی از اجزای اکتیو (مانند تقویت‌کننده‌ها) مدار را معرفی کردیم. در این آموزش، مدارهایی را معرفی خواهیم کرد که از ترکیب دوتایی عناصر پسیو ساخته می‌شوند. این مدارها، مدار شامل مقاومت و خازن (مدار RC) و مدار متشکل از مقاومت و سلف (مدار RL) هستند. در این آموزش، مدار مرتبه اول RC را با جزئیات بررسی خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

یک مدار RC را بدون منبع می‌گوییم اگر منبع dc آن، به‌طور ناگهانی قطع شود. با قطع منبع، انرژی ذخیره شده قبلی در مدار تخلیه می‌شود.

ترکیب سری یک مقاومت و یک خازن را در نظر بگیرید که خازن از قبل شارژ شده است (شکل 1). هدف، تعیین پاسخ مدار است که به دلایل آموزشی، فرض می‌کنیم ولتاژ $$v(t)$$‌ خازن باشد. از آن‌جایی که خازن از قبل شارژ شده است، می‌توان فرض کرد، در زمان $$t=0$$ دارای ولتاژ اولیه زیر است:

پاسخ ورودی صفر

که انرژی متناظر با این ولتاژ، برابر است با

با اعمال KCL در گره بالای مدار شکل ۱، داریم:

که در آن، $$i_C=Cdv/dt$$ و $$i_R=v/R$$ هستند. بنابراین:

یا

رابطه بالا، یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است، زیرا تنها مشتق اول $$v$$ در آن وجود دارد. برای حل معادله بالا، آن را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

اگر از دو طرف معادله بالا انتگرال بگیریم، داریم:

که در آن، $$A$$ ثابت انتگرال‌گیری است. بنابراین،

اگر دو طرف رابطه بالا را به توان $$e$$ برسانیم، خواهیم داشت:

برای تعیین $$A$$ می‌توانیم از شرایط اولیه $$v(0)=A=V_0$$ کمک بگیریم. در نتیجه، پاسخ مدار برابر است با

عبارت بالا نشان می‌دهد پاسخ ولتاژ مدار RC، یک تابع نزولی نمایی از ولتاژ اولیه است. از آن‌جایی که پاسخ به انرژی ذخیره شده و مشخصات فیزیکی مدار وابسته است و به منابع ولتاژ یا جریان خارجی بستگی ندارد، آن را پاسخ طبیعی (Natural response) مدار می‌نامند. به عبارت دیگر، پاسخ طبیعی یک مدار، رفتار (ولتاژ و جریان) آن مدار بدون هیچ منبع تحریک خارجی است.

پاسخ طبیعی در شکل ۲ نشان داده شده است. توجه کنید که در $$t=0$$، همان شرایط اولیه (۱) را داریم. با افزایش $$t$$، ولتاژ به صفر کاهش پیدا می‌کند. سرعت کاهش ولتاژ را با ثابت زمانی (Time constant) یا $$tau$$ نشان می‌دهند. به عبارت بهتر، ثابت زمانی یک مدار، زمان مورد نیاز برای آن است که پاسخ به $$1/e$$ یا 36.8 درصد مقدار اولیه‌اش کاهش پیدا کند.

بنابراین، رابطه (۷) را در $$t=tau$$ به‌صورت زیر می‌نویسیم:

یا

اگر رابطه (۷) را برحسب ثابت زمانی بنویسیم، داریم:

ثابت زمانی را می‌توان از دیدگاه دیگری نیز بررسی کرد. اگر مشتق $$v(t)$$ معادله (۷) را در $$t=0$$ حساب کنیم، داریم:

بنابراین، می‌توان گفت ثابت زمانی نرخ کاهش اولیه یا مدت زمانی است که طول می‌کشد $$v/V_0$$ از مقدار واحد (یک) به صفر برسد (با این فرض که نرخ کاهش ثابت باشد). دیدگاه شیب اولیه نسبت به ثابت زمانی، اغلب در آزمایشگاه و برای یافتن $$tau$$ به‌صورت گرافیکی از روی پاسخ نمایش داده شده روی اسیلوسکوپ استفاده می‌شود (شکل ۳). اگر خط مماس بر پاسخ را در شرایط اولیه رسم کنیم، محور زمان را در $$t=tau$$ قطع می‌کند.

با استفاده از یک ماشین حساب، به‌سادگی می‌توان مقادیر $$v(t)/V$$ را محاسبه کرد که در جدول زیر آورده شده است.

همان‌گونه که از این جدول مشخص است، ولتاژ $$v(t)$$ پس از پنج ثابت زمانی ($$5tau$$) به کم‌تر از یک درصد $$V_0$$‌می‌رسد. بنابراین، معمولاً فرض می‌کنیم بعد از پنج ثابت زمانی، خازن کاملاً شارژ (یا دشارژ) می‌شود. به عبارت دیگر، اگر تغییرات خاصی رخ ندهد، $$5 tau$$‌ طول می‌کشد که مدار به حالت نهایی یا حالت ماندگار برسد. گفتنی است که بعد از گذشت هر ثابت زمانی (و بدون توجه به مقدار $$t$$)، ولتاژ به 36.8 درصد مقدار قبلی می‌رسد؛ یعنی $$v(t+tau)=v(t)/e=0.368v(t)$$.

رابطه (۸) نشان می‌دهد هرچه ثابت زمانی کوچک‌تر باشد، ولتاژ سریع‌تر کاهش می‌یابد و پاسخ سریع‌تر خواهد بود. این موضوع، در شکل ۴ نشان داده شده است. سرعت پاسخ هر اندازه که باشد، مدار بعد از گذشت ۵ ثابت زمانی به حالت ماندگار می‌رسد.

با داشتن ولتاژ $$v(t)$$ از رابطه (۹)، می‌توان جریان $$i_R(t)$$‌ را به‌صورت زیر نوشت:

پاسخ ورودی صفر

توانی که در مقاومت تلف می‌شود، از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

انرژی جذب شده مقاومت در زمان $$t$$ نیز برابر است با:

اگر $$t to infty$$، آن‌گاه $$w_R(infty) to frac{1}{2} CV_0^2$$ را داریم که برابر با همان مقدار انرژی ذخیره شده اولیه در خازن ($$w_C(0)$$) است.

به‌عنوان نتیجه‌گیری، می‌توان گفت دو پارامتر مهم برای مدار مرتبه اول RC بدون منبع وجود دارد که ولتاژ اولیه خازن و ثابت زمانی هستند. با استفاده از این دو مورد، می‌توان پاسخ مدار را در قالب ولتاژ خازن $$v_C(t)=v(t)=v(0)e^{-t/tau}$$ به‌دست آورد. پس از آنکه ولتاژ خازن به‌دست آمد، سایر متغیرها (جریان خازن $$i_C$$، ولتاژ مقاومت $$v_R$$ و جریان مقاومت $$i_R$$) را می‌توان تعیین کرد.

در ثابت زمانی $$tau = RC$$، معمولاً $$R$$‌ مقاومت معادل تونن از دو سر خازن است. خازن نیز، خازن معادل مدار است.

قبل از اینکه وارد بحث درباره نوع دیگر مدارهای مرتبه اول RC شویم، لازم است چند مفهوم ریاضی را بیان کنیم که موجب تسهیل درک تحلیل گذارا می‌شوند. آشنایی اولیه با توابع تکین (Singularity functions) ما را در تحلیل پاسخ مدارهای مرتبه اول به اعمال ناگهانی منابع ولتاژ یا جریان dc کمک خواهد کرد.

توابع تکین که توابع سوئیچینگ یا کلیدزنی نیز نامیده می‌شوند، در تحلیل مدار بسیار مفید خواهند بود. این توابع، تقریب‌های مناسبی برای سیگنال‌های سوئیچینگ هستند که به مدار اعمال می‌شوند. توابع تکین، برای توصیف مناسب و فشرده برخی پدیده‌های مدار، خصوصاً پاسخ مدارهای RC و RL مفید هستند. بنا بر تعریف، توابع تکین، توابعی ناپیوسته هستند یا مشتق‌های ناپیوسته دارند. توابع تکین پرکاربرد که در تحلیل مدارهای الکتریکی مورد استفاده قرار می‌گیرند، پله واحد، ضربه واحد و شیب واحد هستند.

تابع پله واحد $$u(t)$$ برای مقادیر منفی $$t$$، صفر و برای مقادیر مثبت $$t$$ برابر با ۱ است.

به بیان ریاضی:

تابع پله واحد در $$t=0$$ که تغییر ناگهانی از 0 به 1 رخ می‌دهد، تعریف نشده است. این تابع، مانند سایر توابع ریاضیاتی مثل سینوس و کسینوس بدون بُعد است. شکل ۵، تابع پله واحد را نشان می‌دهد. اگر تغییر ناگهانی به جای $$t=0$$ در $$t=t_0$$‌ ($$t>t_0$$) رخ دهد، تابع پله به‌شکل زیر خواهد بود:

در این حالت می‌گوییم، $$u(t)$$ به‌اندازه $$t_0$$ ثانیه تاخیر یافته است (شکل 6 (الف)).‌ برای به‌دست آوردن رابطه (۱۴) از رابطه (۱۳)، می‌توان به‌سادگی $$t$$ را با $$t-t_0$$ جایگزین کرد. اگر تغییر ناگهانی در $$t=-t_0$$ اتفاق افتد، تابع پله را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

بدین ترتیب، مطابق شکل 6 (ب)، $$u(t)$$‌ به‌اندازه $$t_0$$‌ ثانیه جلو می‌افتد.

از تابع پله برای نشان دادن تغییر ناگهانی در ولتاژ یا جریان استفاده می‌کنیم. این کار مخصوصاً در سیستم‌های کنترل و کامپیوترهای دیجیتال کاربرد دارد. برای مثال، ولتاژِ

را می‌توان با تابع پله واحد زیر نشان داد:

اگر $$t_0=0$$ را در نظر بگیریم، آن‌گاه $$v(t)$$‌ را می‌توان به‌صورت تابع پله $$V_0 u(t)$$‌ نوشت. منبع ولتاژ $$V_0u(t)$$ در شکل ۷ (الف) و مدار معادل آن، در شکل ۷ (ب) نشان داده شده است. از شکل ۷ (ب) مشخص است که ترمینال‌های a-b در $$t0$$، ولتاژ برابر $$v=V_0$$ است. به طریق مشابه، منبع جریان $$I_0 u(t)$$ و مدار معادل آن، در شکل 8 (الف) و ۸ (ب) نشان داده شده‌اند. همان‌طور که می‌بینیم، برای $$t0$$ جریان آن برابر با $$i=I_0$$ خواهد بود.

مشتق تابع پله واحد $$u(t)$$، تابع ضربه واحد $$delta (t)$$ است که به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

تابع ضربه واحد را، تابع دلتا نیز می‌نامند. شکل ۹ این تابع را نشان می‌دهد. تابع ضربه واحد $$delta (t)$$، جز در $$t=0$$ تعریف نشده است.

جریان‌ها و ولتاژهای ضربه‌ای مدار، بر اثر کلیدزنی یا منابع ضربه‌ای ایجاد می‌شوند. اگرچه تابع ضربه واحد از نظر فیزیکی قابل پیاده‌سازی نیست (مانند منابع ایده‌آل، مقاومت‌های ایده‌آل و غیره)، اما ابزار ریاضی بسیار مفیدی است. تابع ضربه را می‌توان به‌عنوان یک شوک در نظر گرفت یا به‌عنوان یک پالس بسیار کوتاه با مساحت واحد تصور کرد. به زبان ریاضی، می‌توان نوشت:

که در آن، $$t=0^-$$، زمان را اندکی قبل از $$t=0$$‌ و $$t=0^+$$ زمان را اندکی بعد از $$t=0$$‌ نشان می‌دهد. مساحت واحد را به‌عنوان شدت تابع ضربه می‌شناسند. وقتی یک ضربه، شدت بیشتری نسبت به واحد داشته باشد، مساحت آن، برابر با آن شدت است. برای مثال، مساحت تابع ضربه $$10 delta (t)$$، برابر با 10 است. شکل 10، توابع ضربه $$5delta (t+2)$$، $$10 delta (t)$$ و $$-4delta (t-3)$$ را نشان می‌دهد.

برای آنکه تاثیر تابع ضربه را بر سایر توابع پیدا کنیم، انتگرال زیر را محاسبه می‌کنیم:

که در آن، $$a<t_0<b$$. از آن‌جایی که مقدار $$delta (t-t_0)$$ جز در $$t=t_0$$ برابر با صفر است، انتگرال‌ده جز در $$t_0$$‌ برابر با صفر است. بنابراین:

یا

رابطه بالا نشان می‌دهد وقتی از حاصل‌ضرب یک تابع و تابع ضربه، انتگرال بگیریم، مقدار تابع در نقطه‌ای به‌دست می‌آید که ضربه اعمال شده است. این ویژگی تابع ضربه که بسیار هم مفید است، خاصیت نمونه‌برداری (Sampling)‌ یا جابه‌جایی (Shifting) نامیده می‌شود. در حالت خاص، معادله (۲۰) را می‌توان برای $$t_0=0$$‌ به‌صورت زیر نوشت:

انتگرال‌گیری از تابع پله واحد $$u(t)$$، تابع شیب واحد $$r(t)$$‌ را نتیجه خواهد داد:

یا

تابع شیب واحد، برای مقادیر $$t$$ منفی، برابر با صفر است و برای $$t$$های مثبت، یک شیب واحد است. شکل 1۱، تابع شیب واحد را نشان می‌دهد. در حالت کلی، یک شیب، تابعی است که با نرخ ثابتی تغییر می‌کند.

تابع شیب واحد، را می‌توان مطابق شکل 1۲، عقب یا جلو برد. برای یک تابع شیب واحد تاخیریافته، داریم:

و یک تابع شیب پیش افتاده به‌صورت زیر است:

به خاطر داشته باشید سه تابع تکین (ضربه، پله و شیب) را می‌توان با مشتق یا انتگرال به یک‌دیگر مربوط کرد:

هرچند توابع تکین دیگری نیز وجود دارد، اما ما با این سه تابع سروکار داریم.

وقتی یک منبع dc به‌طور ناگهانی به مدار RC‌ اعمال شود، منبع ولتاژ یا جریان را می‌توان با یک تابع پله مدل کرد که پاسخ آن، به‌عنوان پاسخ پله شناخته می‌شود.

مدار RC شکل 1۳ (الف) را در نظر بگیرید که می‌توان آن را با مدار شکل 13 (ب) جایگزین کرد. در این شکل، $$V_s$$ یک منبع ولتاژ dc ثابت است. در این‌جا نیز ولتاژ خازن را به‌عنوان پاسخ مدار در نظر می‌گیریم. فرض می‌کنیم، مقدار اولیه ولتاژ خازن $$V_0$$ است. از آن‌جایی که ولتاژ خازن به‌طور ناگهانی تغییر نمی‌کند، داریم:

که $$v(0^-)$$، ولتاژ خازن قبل از کلیدزنی و $$v(0^+)$$، ولتاژ خازن دقیقاً بعد از کلیدزنی است. با اعمال KCL، داریم:

یا

که در آن، $$v$$ ولتاژ خازن است. برای $$t>0$$، رابطه (30) به‌صورت زیر در خواهد آمد:

با کمی جابه‌جایی، داریم:

یا

اگر از دو طرف رابطه بالا با توجه به شرایط اولیه انتگرال بگیریم، نتیجه زیر حاصل می‌شود:

یا

اگر دو طرف رابطه بالا را به توان $$e$$‌ برسانیم، داریم:

یا

بنابراین،

عبارت بالا، به‌عنوان پاسخ کامل (Complete response) مدار RC‌ با اعمال ناگهانی یک منبع ولتاژ dc و با فرض شارژ اولیه خازن نامیده می‌شود. دلیل نام «کامل» را اندکی بعد، متوجه خواهید شد. با فرض $$V_s>V_0$$، شکل 1۴، نمودار $$v(t)$$‌ را نشان می‌دهد.

اگر فرض کنیم خازن در حالت اولیه شارژ نشده باشد، مقدار $$V_0=0$$ را در معادله (35) قرار می‌دهیم:

که می‌توان آن را به‌صورت زیر نوشت:

معادله بالا، پاسخ مدار در حالتی است که خازن از قبل شارژ نشده باشد. جریان خازن را می‌توان از رابطه (36) و با استفاده از $$i(t)=Cdv/dt$$ نوشت:

یا

شکل 15، نمودار ولتاژ و جریان خازن را نشان می‌دهد.

جدای از عملیاتی که برای به‌دست آوردن ولتاژ خازن انجام شد، یک روش نظام‌مند یا به تعبیر بهتر، میان‌بُر برای یافتن پاسخ پله یک مدار RC‌ یا RL وجود دارد. دوباره معادله (۳۴) را در نظر بگیرید که عمومی‌تر از رابطه (۳۷) است. مشخص است که $$v(t)$$ دو بخش دارد. دو راه برای تفکیک این دو بخش وجود دارد. راه اول، جدا کردن پاسخ به دو بخش «پاسخ طبیعی و پاسخ اجباری» و راه دوم، جدا کردن به دو بخش «پاسخ گذرا و پاسخ حالت ماندگار» است. از روش اول شروع می‌کنیم. پاسخ کامل یک مدار را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

یا

که

و

در بخش نخست این آموزش، با پاسخ طبیعی $$v_n$$ مدار آشنا شدیم. $$v_f$$، به‌عنوان پاسخ اجباری (Forced response) شناخته می‌شود، زیرا وقتی ایجاد می‌شود که یک نیرو (force) خارجی (در این بحث، منبع ولتاژ) به مدار اعمال شود.

راه دیگر بیان پاسخ کامل، جدا کردن آن به دو بخش موقت و دائمی است:

یا

که

و

پاسخ گذرای $$v_t$$، موقتی است و بخشی از پاسخ است که با میل کردن زمان به بی‌نهایت، مقدار آن به صفر می‌رسد. پاسخ حالت ماندگار $$v_{ss}$$، آن بخش از پاسخ است که پس از از بین رفتن پاسخ گذرا، باقی می‌ماند.

روش تفکیک نخست برای پاسخ کامل، بر اساس منبع پاسخ است، درحالی که روش دوم، مبتنی بر دوام پاسخ‌ها است. در شرایط معین، پاسخ طبیعی و گذرا مشابه هستند. در نتیجه می‌توان گفتن که پاسخ اجباری و حالت ماندگار نیز برابر خواهند بود.

از هر دیدگاهی که به پاسخ کامل نگاه کنیم، می‌توان رابطه (۳۴) را به‌صورت زیر نوشت:

که در آن، $$v(0)$$، ولتاژ اولیه در $$t=0^+$$ و $$v(infty)$$، مقدار نهایی یا حالت ماندگار است. بنابراین، برای یافتن پاسخ پله یک مدار RC، به سه پارامتر نیاز داریم:

مورد ۱ را می‌توان در زمان $$t0$$ به‌دست می‌آیند. با محاسبه این موارد، می‌توان پاسخ را از رابطه (۴۲) به‌دست آورد.

توجه کنید اگر کلید به‌جای $$t=0$$ در لحظه $$t=t_0$$ سوئیچ شود، یک تاخیر زمانی در رابطه (42) ایجاد خواهد شد:

که در آن، $$v(t_0)$$، مقدار اولیه در $$t=t_0^+$$ است. روابط (42) و (43)، فقط در مورد پاسخ پله کاربرد دارند، یعنی وقتی تحریک ورودی، ثابت است.

در صورتی که مباحث بیان شده برای شما مفید بوده و می‌خواهید درباره موضوعات مرتبط، مطالب بیشتری یاد بگیرید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

^^

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 45 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

مبلغ قابل پرداخت

0 تومان

لطفا اطلاعات زیر را وارد کنید تا از طریق اساتید و مشاوران لایوآموز برای مشاوره رایگان با شما تماس گرفته شود

To view this video please enable JavaScript, and consider upgrading to a web browser that
supports HTML5 video

مباحث تدریس شده در این جلسه:

پاسخ ورودی صفر

جلسه هشتم
پاسخ حالت صفر و ورودی صفر مدار LTI
در این جلسه مفاهیم پاسخ حالت صفر و ورودی صفر در مدارات LTI با حل چندین تست کنکور و تالیفی انجام شد همچین در این فیلم سوال کنکور ارشد برق 97 تحلیل شد

برای دریافت آخرین اخبار دوره
ها ایمیل را وارد کنید

برای دریافت آخرین اخبار دوره
ها ایمیل را وارد کنید

لایوآموز را در شبکه‌های اجتماعی دنبال کنید

.کلیه حقوق این وبسایت متعلق به موسسه آموزشی لایوآموز می باشد

SOFTDARS

سافت‌درس، گامی نو در آموزش دیجیتال

نمایش دادن همه 3 نتیجه